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蘋果的謎題: 我們要來解決一個90個蘋果(90 apples puzzle)的謎題. 這不是手機當機的問題, 這是一個是有趣的數學問題.

已故巴西數學家兼作家馬爾巴塔罕(Malba Tahan)有本知名的數學童畫書《數學天方夜譚：撒米爾的奇幻之旅》用有趣的方法介紹數學與阿拉伯文化的美. 這本書的作者, 馬爾巴塔罕, 本名是 Júlio César de Mello e Souza (1895-1974)是一位巴西的數學家兼作家【註2】.

90 Apples Math Puzzle.

九十個蘋果的謎題

謎題故事是這樣開始的. 阿拉伯的古國中, 三姊妹接到官員一個無理的要求: 賣出九十個蘋果, 不過必須遵守下面條件:

蘋果的謎題 官員的要求:

(1) 老大賣出50個蘋果, 老二賣出30個蘋果, 老三賣出10個蘋果.
(2) 價格由老大決定, 老二老三必須採用相同於老大的價格.
(3) 三姊妹必需要帶回相同的錢 (總收入三人必須相同).
(4) 蘋果當然不能贈送, 丟掉或吃掉!

這就是九十個蘋果的謎題( 90 apples math puzzle ), 從簡單的數學直覺來看, 似乎是不可能達成的任務, 根本是官員無理的要求, 不過, 其實問題中卻隱藏著著無限可能喔!

解法一: 免費的蘋果

想法一, 假設一顆蘋果的價格是P, 則我們第一種想法會變成是:

50*P = 30*P = 10*P = 總收入

這只有一個解法, 就是 P=0 免費的蘋果, 但這不符規定, 因此解法不如此單純.

解法二: 真正可行的蘋果賣法

書中的數數人撒米爾提出了一個解法來解決九十個蘋果的謎題, 不過, 其實解法有無限多種, 其中包含至少40種【註1】解答組合. 本書的作者並沒有提出完整的解法答案, 這裡, 讓魔旅士來用一個新的解法完整解出所有的答案.

首先, 我們做一些假設以方便計算:

(A-1) 假設蘋果分兩批賣出. 第一批蘋果價格是P, 第二批價格是Q.
(A-2) 老大第一批賣出 X 個蘋果, 則第二批賣出 50-X 個蘋果.
(A-3) 老二第一批賣出 Y 個蘋果, 則第二批賣出 30-Y 個蘋果.
(A-4) 老三第一批賣出 Z 個蘋果, 則第二批賣出 10-Z 個蘋果.
(A-5) 最後每個人都拿回 A 元金錢.

我們可以列出下面的關係式:

P*X + Q*(50-X) = A …..(B-1式) 老大的總收入
P*Y + Q*(30-Y) = A …..(B-2式) 老二的總收入
P*Z + Q*(10-Z) = A …..(B-2式) 老三的總收入

如果我們把 (B-1式)(B-2式)(B-2式) 改寫, 可以得到:

(P-Q)X = A-50*X …..(B-3式)
(P-Q)Y = A-30*Y …..(B-4式)
(P-Q)Z = A-10*Z …..(B-5式)

如果我們把價格與數量分成堆的運算概念引入. 因此我們把 (B-4式)減去(B-3式), 同理 (B-5式)減去(B-4式), 同理 (B-5式)減去(B-3式) 我們可以得到:

(P-Q)*(Y-X) = 20*Q …..(C-1式)
(P-Q)*(Z-Y) = 20*Q …..(C-2式)
(P-Q)*(Z-X) = 40*Q …..(C-3式)

我們知道(C-1式)與(C-2式)相等, 因此得到:

(Y-X) = (Z-Y) 也就是 Z = 2*Y – X …..(D-1式)

這裡有一個直得討論的地方: 當 P=Q, 也就是兩次蘋果販售的價格相同時, 上面的等式也會成立. 不過這情況明顯無法達成任務! 因此不予考慮. 寫到這裡, 也許你已經有點看花了, 簡單說結論: 這告訴我們三姊妹賣出的蘋果數量有著 Z=2*Y-X 的關係式.

價格P與Q

接下來我來解決價格問題, 首先:

假設 K = (Y-X) …..(D-2式)

因此, 我們可以把 (C-1式) 修改為:

(P-Q)*(Y-X) = (P-Q)*K = 20*Q …..(E-1式)
P = ((20+K)/K)*Q …..(E-2式)
假設: ratio = ((20+K)/K) …..(E-3式)
P = ratio * Q …..(E-4式) 前後兩次蘋果售價的關係

賓果! 其實, 到這裡我們已經把蘋果的謎題解決啦! 關鍵的答案就在以下兩式中:

Z = 2 * Y – X …..(D-1式) 蘋果數量關係
P = ratio * Q …..(E-4式) 蘋果售價關係

只要我們計算出 X, Y, Z　的數字組合, 也就可以定義出 P, Q 的關係.

完整 40 種蘋果解法 + 無限可能

接著我把完整的解答40種【註1】計算出來. 一般來說, 要求出這種多組合問題用紙筆是很困難的, 因此我們搬出電腦的試算表! 你可以用 Excel 或是 OpenOffice Cal 或是任一種試算表來作計算.

首先, 我們知道X, Y,Z 的關鍵重點在於這些數字都是正整數.

0 <= X <= 50 且 X = 整數(integer)
0 <= Y <= 30 且 Y = 整數(integer)
0 <= Z <= 10 且 Z = 整數(integer)

表格一, 依據 X, Y, Z 的限制範圍, 可以依據 (D-1式) 求出所有的數字組合. 因此, 我們可以依據三姊妹的蘋果數目得到以下關係: 灰色0-10代表Z, 灰色0-30代表Y, 而紅字代表計算出的 Z 值.

表格一, 所有的 X, Y, Z 的數字組合.

表格二, 依據表格一所有的 X, Y, Z 的數字組合可以根據 (E-3式) 計算出 ratio 值. 其中必須設定幾個限制條件來篩選 Ratio 的數值, 這些條件是:

ratio >= 0 …..(E-5式) 價格必須是正數, 因此 ratio 為正值.


0 <= Z <= 10 且 Z = 整數(integer)

從這裡我們可以看到所有的 40 組解答組成. 其中價格的比率總共有九種 ( ratio = 1/5, 1/6, 3/23, 1/11, 1/21, 6, 23/3, 11, 21 正好都是相互的倒數 ). 這解法中卻有著一個小祕密: 如果我們等比率將 P,Q 放大縮小, 則可以得到無限多種的解答!!

表格二, 依據 X, Y, Z 數計算出 ratio 值, 可以解出蘋果售價關係.

表格三, 依據所有的 X, Y, Z, P/Q ratio 的組合可以求出三姊妹賣蘋果得到的金錢.

表格三, 三姊妹賣蘋果得到的金錢.

90個蘋果的謎題 – 解答與結論

依據這整個數學的計算分析過程, 我們可以得知幾個結論 : (1) 這並不是一個只有唯一種解答的謎題, 事實上, 這個90個蘋果謎題有著40種【註1】解法組合. (2) 價格的組合會有九種, 其中兩兩互為倒數 (3) 如果把價格依據倍數放大縮小, 則可以得到無限多種的解答!

也許《數學天方夜譚：撒米爾的奇幻之旅》中的數數人撒米爾並沒有想到, 原來數學提供了無限的可能, 偉大的阿拉!

參考資料

【註】: 嚴格說起來, 應該有著45種的解法組合. 不過, 如果當最年輕的老三第一次賣出 0 個蘋果的情況被視為不合規則時, 只會剩下40種的解法組合.
【註】: 《數學天方夜譚：撒米爾的奇幻之旅》, 作家馬爾巴塔罕(Malba Tahan) 本名是 Júlio César de Mello e Souza (1895-1974)是一位巴西的數學家兼作家.

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